Problemas resueltos de la Dinamica.

Solución del ejercicio n° 1 de Gravitación y plano inclinado:
Problema n° 1) Una fuerza de 10 kgf actúa sobre una masa que se desplaza con una velocidad de 20 cm/s y al cabo de 5 s le hace adquirir una velocidad de 8 cm/s, ¿cuál es la masa del cuerpo?.

Desarrollo

Datos:

F = 10 kgf = 10 kgf.(9,80665 m/s ²)/ 1 kgf = 98,0665 N
v₁ = 20 cm/s = 20 cm/s.(1 m/100 cm) = 0,2 m/s
v₂ = 8 cm/s = 8 cm/s.(1 m/100 cm) = 0,08 m/s
t = 5 s

De acuerdo a los datos la fuerza le produce a la masa una desaceleración.
F = -98,0665 N

Primero, empleando ecuaciones de cinemática, calculamos la aceleración (negativa) producida por la fuerza.
v₂ - v₁ = a.t
a = (v₂ - v₁)/t
a = (0,08 m/s - 0,2 m/s)/5 s
a = -0,024 m/s ²
Luego:
F = m.a
m = F/a
m = -98,0665 N/(-0,024 m/s ²)
m = 4086,1 kg.

Problema n° 2) Si la tensión en el cable de un ascensor es de 2800 N, el peso del ascensor es de 300 kgf y transporta a una persona de 80 kgf de peso. Calcular:
a) ¿Qué aceleración tiene?.
b) ¿El ascensor sube o baja?.

Desarrollo

Datos:

T = 2800 N
P_A = 300 kgf = 300 kgf.(9,80665 m/s ²)/ 1 kgf = 2942 N
P_P = 80 kgf = 80 kgf.(9,80665 m/s ²)/ 1 kgf = 784,5 N
Se adopta g = 10 m/s ²

a) La condición de equilibrio es:
∑F = 0
Pero como hay movimiento:
∑F = m.a
La masa es:
m = (P_A + P_P)/g
m = (2942 N + 784,5 N)/10 m/s ²
m = 372,65 kg
Las fuerzas sobre el eje (tomando el eje positivo hacia arriba) son:
T - P_A - P_P = m.a
a = (T - P_A - P_P)/m
a = (2800 N - 2942 N - 784,5 N)/372,65 kg
a = -2,49 m/s ²
b) Como la aceleración del sistema es negativa el ascensor desciende.

Problema n° 3) Calcular para el sistema de la figura su aceleración y la tensión en la cuerda si m₁ = 12 kg, m₂ = 8 kg y α = 30°.

Desarrollo

Datos:

m₁ = 12 kg
m₂ = 8 kg
α = 30°
Se adopta g = 10 m/s ²

Los gráficos correspondientes a las masas puntuales son:

Nos interesa particularmente el movimiento a lo largo del eje "x", la condición de equilibrio es:
∑ F_x = 0
Pero como hay movimiento:
∑ F_x = m.a
La ecuación en el eje "x" es:
P_2x - T = m₂.a
T = P₂.sen 30° - m₂.a (para la masa 2)
T = m₁.a (para la masa 1)
Igualando:
m₁.a = P₂.sen 30° - m₂.a
m₁.a + m₂.a = P₂.sen 30°
(m₁ + m₂).a = P₂.sen 30°
a = P₂.sen 30°/(m₁ + m₂)
a = 8 kg.(10 m/s ²).0,5/(12 kg + 8 kg)
a = 40 N/20 kg
a = 2 m/s ²
Luego:
T = m₁.a
T = 12 kg.2 m/s ²
T = 24 N

Problema n° 4) Con los datos del problema anterior calcular α para que el sistema tenga una aceleración de 3 m/s ².

Desarrollo

Datos:

m₁ = 12 kg
m₂ = 8 kg
a = 3 m/s ²
Se adopta g = 10 m/s ²

Los gráficos son los mismos del ejercicio n° 3.
Para el caso:
∑ F_x = m.a
P_2x - T = m₂.a
T = P₂.sen α - m₂.a (para la masa 2)
T = m₁.a (para la masa 1)
Igualando:
m₁.a = P₂.sen α - m₂.a
m₁.a + m₂.a = P₂.sen α
(m₁ + m₂).a/P₂ = sen α
sen α = (12 kg + 8 kg).(3 m/s ²)/(8 kg.10 m/s ²)
sen α = 0,75
α = arcsen 0,75
α = 48° 35´ 25"